Curso Online de Matemática com e no GeoGebra

RICARDO AUGUSTO DE OLIVEIRA
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ISBN N° 978-85-8196-091-3
1° edição
Barra do Bugres Edição do autor 2012

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ISBN N° 978-85-8196-091-3
INTRODUÇÃO
Este material é parte das construções que realizei a partir dos materiais que produzi e que tratam de trigonometria, geometria plana, analítica, vetorial, cálculo álgebra, e outros temas do curso de matemática, diz respeita ainda ao objetivo do autor em compartilhar materiais que ajude professores e alunos a perceber de maneira mais simples possível que o uso de softwares como o GeoGebra muito podem ajudar no ensino e no estudo da matemática; de aplicar suas experiência apreendidas durante o projeto de iniciação científica vivenciada na UNEMAT de Barra do Bugres, onde se discutia o uso do software GeoGebra e do Ambiente TELEDUC para a formação continuada de professores.
Neste contexto, surge em meio as discussões referentes à qualidade do material, e a possibilidade de se aplicar cursos de geometria plana, analítica, vetorial e de trigonometria com o uso do software GeoGebra por meio da plataforma de ensino TELEDUC, tanto a professores de matemática (enfatizando o uso deste recurso que é o software) quanto para alunos de ensino fundamental e médio (enfatizando a construção de conceitos geométricos), enfim.
Este material propõe em linguajar misto (matemático científico e popular) por meio da transposição didática, alcançar tanto a professores quanto a alunos para os objetivos acima especificados, dando maior ênfase ao segundo, de modo que não fique simples demais para professores ou complicado demais para alunos sem muita experiência.
Ainda, dá mais ênfase às demonstrações VISUAIS dos conceitos geométricos e na forma de como as construir representações de objetos matemáticos com os recursos do GeoGebra e por isso se justifica a quantidade de passo a passo exemplificados neste material.
No entanto é importantíssimo que o leitor antes de se aventurar neste fascículo, passear nos manuais do software GeoGebra, fazer pequenas atividades de reconhecimento do software, e estar em acesso a bons materiais (impressos ou virtuais) da disciplina em questão para que possa acompanhar cada detalhe deste material que não é nem fácil demais e nem mesmo muito complicado, servindo assim para o estudo de alunos e professores sem grande distanciamento de público.
Esperamos que o mesmo fosse de muita utilidade tanto para os que gostam da disciplina e buscam formas de estudá-las ou transpor seus conceitos fundamentais, quanto para

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iniciantes em cursos de matemática, seja no Ensino Fundamental, Médio Graduação ou mesmo na formação continuada.
Estaremos sempre dispostos a receber correções críticas e opiniões de nossos leitores. Que Deus lhe abençoe com esta leitura.
algustoricardo@hotmail.com

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Conteúdo
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Sumário
DEFINIÇÕES BÁSICAS SOBRE MATRIZES
Transformações lineares
Propriedades de matrizes
Soma de matrizes Multiplicação por escalar Multiplicação de matrizes DETERMINANTES MENOR COMPLEMENTAR TEOREMAS
TEOREMA DE LAPLACE TEOREMA DE BINET TEOREMA DE JACOBI
Propriedades dos determinantes MATRIZ TRANSPOSTA NULIDADE
MATRIZ TRIANGULAR MUDANÇA DE DETERMINANTE SISTEMAS LINEARES SISTEMA ESCALONADO
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REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO SISTEMA LINEAR CONSIDERAÇÕES
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DEFINIÇÕES BÁSICAS SOBRE MATRIZES
Bloco retangular de termos que geram expressões, equações, mas não um número, de modo que possamos montar sistemas de determinantes a fim de encontrar a sua razão ou solução.
O teorema ou o uso das matrizes tiveram seu desenvolvimento com vários matemáticos, mas em especial podemos mencionar Cayley que com outros matemáticos do século XVIII e XIX transportaram a representação geométrica da matriz (por meio da teoria das formas quadráticas) -que é a área de um paralelogramo se tratando de um espaço bidimensional ou o volume de um paralelepípedo se tratando de um espaço tridimensional-, para a notação matricial que é o que pretendemos fazer neste livro, através da notação matricial perceber o que estes matemáticos já sabiam e que pouco pude perceber.
O estudo das matrizes exige que tomemos elementos básicos a seu estudo, tais como: N=(1,2,3,4...) o conjunto dos números naturais, o produto cartesiano de naturais e naturais escrito como NXN={(a,b): a e b são números naturais} e Smn={(i,j): 1,=i,=m, 1,=j,=n} ou seja, para cada elemento aij tem se que i varia de 1 á m e j varia de 1 a n sendo “m” e “n” respectivamente o número de linhas e colunas da matriz A.
Observação:
“m” e “n” são a ordem da matriz A, m linhas e n colunas;
Cada elemento de uma matriz será representado por aij ou bij ou cij conforme a matriz e sua posição na matriz, ou seja, um elemento estará na 2° linha e 3° coluna quando estiver representado por c23.
A notação de uma matriz será dada por A=(aij) para todo elemento da matriz A localizada na ordem m linhas e n colunas.

Assim sua representação matricial será:

A=
Seja a matriz M=
a matriz quadrada de ordem 2x2.

Digite na janela de entrada M={{3,5},{7,5}}.

. . . .
. . .
cm1 cm2 cm3... c mn
mxn

Beleza, como este curso não é uma introdução ao curso de matrizes, vamos encurtar um pouco para entrarmos no que realmente nos interessa, a representação e o estudo das matrizes no software.
Abra o software GeoGebra, na página em branco vamos deixar o eixo e a janela de álgebra aparecendo.
Para que possamos inserir uma matriz dois por dois (2x2) precisamos digitar na janela de entrada a matriz conforme exemplo abaixo:

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Sendo {3,5} a primeira linha e {7,5} a segunda.
Note que a matriz só apareceu na janela de álgebra, não se assuste, logo faremos a mesma aparecer também na janela de visualização, no formato de texto.
Vamos lá!

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Digite agora a matriz M1 como sendo a matriz inversa da matriz M. M1=MatrizInversa[M].
Lembrando agora de matriz identidade, onde a identidade é sempre o produto de M por M1, ou seja, multiplicação da matriz M pela sua matriz Inversa.
Faça da seguinte forma, digite na caixa de entrada “M2=M*M1”.

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Chame agora de M3 a matriz nula de ordem 2x2, M3={{0,0},{0,0}}.
Tudo bem até aqui?
Agora M4={{4,0},{0,3}} para matriz diagonal principal ou inverta para ver a matriz diagonal secundária. M5={{0,4},{3,0}}.

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Beleza, vamos agora para a matriz transposta de M onde as linhas e colunas da matriz M mudam de lugar, a linha 1º vira 1° coluna e a linha 2º vira 2° coluna.

T=MatrizTransposta[M].
Mais à frente, iremos trabalhar com determinante, mas só para que tenham um petisco, lá vai. Digite:
Determinante[M] e logo veremos se o mesmo é igual ou diferente de zero, veja seu valor na janela de álgebra, neste caso determinante de M=(-20).

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