Curso Online de Potência: sua história e seus cálculos.

Potência: sua história e seus cálculos.

Autor: AYRTON DCM

Apresentação

Este curso visa sanar as suas dúvidas quanto ao cálculo de potências, além disto apresenta a história e as curiosidades que estão enraizadas na memória da potenciação.

Sumário

História ---------------------------------- pág. 5 a 9
Funcionalidades ------------------------- pág. 11 a 18
Propriedades ---------------------------- pág. 20 a 26
Exercícios --------------------------------- pág. 29 a 38
Resolução ----------------------------------- pág. 39 a 48

Marcos históricos no desenvolvimento da potenciação

Potência

Cerca de 2100 -1580 a.C.
É num papiro egípcio que se encontra uma das primeiras referências à operação de potenciação, com o cálculo do volume de uma pirâmide quadrangular. É usado um par de pernas para simbolizar o quadrado de um número.
Os babilônios já conheciam potência. Percebemos isto através dos conteúdos de suas tábulas. Para ilustrar, observemos o conteúdo de uma das tabulinhas babilônicas de argila, conhecida como a tabulinha de Larsa.

470 a.C.
A Hipócrates de Quio é atribuída a utilização da palavra potência, no contexto da matemática. Ele designou o quadrado de um segmento pela palavra “dunamis”, que significa potência.
Crê-se que a generalização do uso da palavra potência resulte do fato dos Pitagóricos terem enunciado o resultado da proposição I 47 que é o Teorema de Pitágoras, do livro Os Elementos, de Euclides: “a potência total dos lados de um triângulo retângulo é a mesma que a da hipotenusa”. (PONTE, 1999)

250 a.C.
Para mostrar que números muito grandes poderiam ser escritos, Arquimedes escreveu um livro Psammites (Computador de Areia), onde pretendia determinar o número de grãos de areia necessários para encher o universo solar. Obteve como solução um número menor do que nós escreveríamos como 1051 . Como esse número era muito grande, e a forma dos antigos Gregos de escrever números baseava-se nas letras do alfabeto, uma forma pouco prática onde a representação de números muito grandes tornava-se desajeitada, e a numeração usada na época permitia escrever números até 10 000 (uma miríade), Arquimedes criou um novo
sistema de numeração:
considerou os números de 1 à 108 , ou seja, até uma miríade de miríade, que se podiam escrever na numeração grega como sendo de primeira ordem; depois, os números de 108 até 1016 como sendo de segunda ordem, em que a unidade é 108 , e assim sucessivamente. (PONTE, 1999 apud BOYER, 1989)
Desta forma, Arquimedes utilizou uma regra equivalente à propriedade da multiplicação de potências de mesma base:
1051 = 103 ⋅ 108 ⋅108 ⋅108 ⋅ 108 ⋅ 108 ⋅ 108

1360 d.C.
(EVES, p. 191-192) Nicole Oresme (Bispo da Normandia) em seu livro De proportionibus proportionum generalizou a teoria das proporções de Bradwardine, incluindo qualquer potência de expoente racional e deu regras para combinar proporções que são equivalentes às nossas propriedades das potências. Já em seu livro Algorismus proportionum, Oresme sugeriu o uso de notações especiais para potências fracionárias. Diversos historiadores referenciam este como sendo o primeiro uso de expoentes fracionários. A teoria sobre os expoentes inteiros e fracionários continuou desenvolvendo- se por mais três séculos.

1637 d.C.
Finalmente com o livro La Géométrie do pensador e matemático francês René Descartes (1596-1650), surge a notação usada atualmente. Ele escreveu: “aa ou 2a para multiplicar a por si mesmo e 3 a para multiplicar ainda mais uma vez por a e deste modo até ao infinito”. (PONTE, 1999)
Descartes trabalhou somente com expoentes inteiros positivos.
Aos poucos a notação de Descartes foi ganhando mais adeptos.

RENÉ DESCARTES livro “LA GÉOMÉTRIE”
No final do século XIX, o conceito de potência recebeu seus retoques finais, ao ser feita uma construção rigorosa do conjunto dos números reais; finalmente colocou-se a questão de saber em quais casos faz sentido definir potência.

Agora que sabemos parte da história, veremos na prática como funciona uma potenciação.

Uma potência de expoente natural é o resultado da multiplicação de um dado número por si mesmo um certo número de vezes, ou seja, é uma forma de representar sucessivas multiplicações de um só fator, repetido um determinado número de vezes.