Curso Online de campos elétricos

campos elétricos

o método dos elementos finitos e os métodos “meshfree” na solução de equações diferenciais parciais

1) ilustrando as idéias básicas do método com um exemplo simples:

consideremos a equação de laplace em domínios bidimensionais, que aparece comumente
em vários tipos de problemas. pede-se calcular o potencial u que é solução da e.d.p.

em um domínio

com uma fronteira c, dividida em subcontornos c1 e c2 onde u

satisfaz respectivamente a condições de neumann e de dirichlet, e tais que

(1.1)

o princípio de mínima energia para o potencial requer que a energia do campo armazenada
no domínio assuma um valor mínimo para a solução de (1.1). em outras palavras, a solução
procurada minimiza a funcional

(1.2)

portanto, uma forma de resolver (1.1) é procurar uma expressão aproximada para w(u),
supondo que u possa ser aproximado por uma expansão com funções simples adequadamente
escolhidas, e coeficientes indeterminados. a minimização da energia determinará então
esses coeficientes, e portanto a aproximação para u. esta “abordagem indireta” através de
uma formulação integral equivalente e expansões de aproximação é, em essência, a idéia bá-
sica seguida por todos os métodos de elementos finitos e suas variantes: substituir o
problema de encontrar diretamente a solução de uma dada equação diferencial parcial,
pelo problema equivalente de encontrar uma solução minimizante para uma certa integral.

ao construir essa expansão para o potencial u, inicialmente decompomos o domínio do
problema em uma união de subdomínios topológicamente regulares (os elementos finitos),
disjuntos dois a dois, não superpostos e não intersectantes (ou seja, construímos uma cobertura
do domínio), como ilustrado pela figura 1 abaixo. seja então, um elemento individual
dessa decomposição (fig. 2):

fig. 1

fig. 2

no caso mais simples, uma aproximação u para
a solução u de (1.1) é dada no elemento da fig. 2
simplesmente por

(1.3)

com os coeficientes a, b e c satisfazendo

(1.4)

obs.: note na figura que os elementos po-
dem possuir dimensões e orientações distin-
tas, se adaptando às particularidades da geo-
metria do domínio original.

combinando (1.3) e (1.4), é imediato concluir que para um único elemento,

(1.5)

com um pouco de álgebra, a expansão (1.5) pode ser escrita na forma

(1.6)

onde, por exemplo,

sendo a a área do elemento triangular. as demais funções alfa são fácilmente obtidas por
permutação cíclica de índices. essas funções, chamadas na terminologia do método de fun-
ções de base ou funções de forma, são interpolatórias nos vértices do triângulo, satisfazendo
a propriedade do delta de kronecker:

(1.7)

substituindo agora a expansão (1.6) na equação (1.2), a energia associada a um único ele-
mento é aproximada por

(1.8)

se definirmos os elementos de matriz

a equação (1.8) será escrita então como uma forma matricial quadrática:

(1.9)

(1.10)

onde u representa o vetor coluna com os valores do potencial nos vértices (pontos nodais)
do elemento triangular. para determinar a aproximação que inclua todos os elementos de
uma dada discretização (malha de elementos finitos), é suficiente impor a continuidade
do potencial em pontos nodais que são comuns a dois ou mais elementos.

vamos considerar na figura ao lado, as numera-
ções disjunta (a) e conjunta (b), que também
são chamadas na terminologia corrente do método,
respectivamente, de numerações local (a) e global (b).

fig. 3

para os dois elementos separados, o vetor das incógnitas se escreverá como

(1.11)

e a energia total assocciada ao par de elementos será

(1.12)

onde

(1.13)

a matriz s em (1.13) é conhecida como matriz de dirichlet ou de rigidez. se considerarmos
agora a montagem conjunta com numeração global (elementos unidos), é necessário que os
potenciais variem contínuamente através das interfaces entre elementos. em outras palavras,
ao juntarmos dois elementos, os valores de potencial em vértices (pontos nodais) correspon-
dentes devem ser iguais. na figura 3.a, isto quer dizer que os potenciais em 1 e 6 são iguais,
assim como os potenciais em 2 e 4.

relacionando agora as numerações local e global por meio de uma matriz de conexões,

(1.14)

desta forma, substituindo (1.14) em (1.12), teremos

(1.15)

(1.16)

a eq. (1.16) define a matriz global para o problema, fornecendo juntamente com u
uma aproximação para a energia do domínio constituído pelos dois elementos
triangulares conectados.

o passo que falta é a minimização da energia w:

(1.17)

onde os subacritos l e p representam, respectivamente, os potenciais livres para variar (as in-
cógnitas) e os valores prescritos (condições de contorno do tipo dirichlet). uma vez que a di-
ferenciação óbviamente só é possível com respeito aos potenciais livres, temos

do que resulta por fim,

(1.18)

note que nesta formulação, as condições de dirichlet são satisfeitas exatamente (são os
valores prescritos de potencial). pode-se mostrar que as condições de neumann homogêneas
(derivada normal nula) são implícitamente satisfeitas para este caso, não de forma precisa,
mas com um valor aproximado que depende essencialmente da natureza da aproximação po-
linomial que fizemos para u. neste exemplo ela é linear nas coordenadas, mas poderia ser
quadrática, cúbica, etc. uma demonstração deste fato será feita na seção 2. os pontos
essenciais a mencionar agora são os seguintes:

1) toda a técnica apresentada acima pode ser estendida sem dificuldade para qualquer
número de elementos, aumentando apenas a dimensão dos vetores e matrizes. a formação
da matriz global também pode ser feita diretamente, sem matrizes de conexão;

2) a matriz global em (1.16) é esparsa e simétrica. o padrão de distribuição dos
elementos nulos depende da numeração global adotada, que pode ser inteiramente
arbitrária;

3) o grau do polinômio em (1.3) pode ser aumentado para se obter uma aproximação
tão boa quanto se queira. na aplicação do mef, o que se busca é um compromisso:
soluções precisas com aproximações lineares requerem um grande número de elementos,
mas aproximações quadráticas ou cúbicas aumentam a dimensão das matrizes de
contribuição local (1.9). aplicações correntes raramente empregam aproximações
cúbicas ou de grau maior.

no exemplo anterior (p. p. silvester & r. l. ferrari, finite elements for electrical
engineers, cambridge university press) estão presentes portanto os seguintes elementos
característicos do mef:
a) uma funcional, oriunda de princípios variacionais ou da integral de um resíduo ponderado
(métodos de galerkin, bubnov-galerkin, etc.) cuja solução minimizante é a solução da e.d.p.
correspondente,
b) uma discretização do domínio segundo uma certa malha de elementos finitos;
c) um conjunto de funções de base, interpolantes nos elementos da discretização, satisfazendo
as propriedades (1.7).

o ítem a) será discutido mais detalhadamente agora. é importante adiantar que,
mesmo para problemas em que nào é possível encontrar uma formulação variacional
correspondente, o método de galèrkin e suas variantes permite a construção da integral
procurada.

2) princípios variacionais e o método de galerkin :

usando o cálculo das variações, é possível mostrar a validade do seguinte resultado:

sejam

funções dadas em uma região g bidimen-

sional, e

funções definidas do segmento de arco s ao longo da fronteira c de g.

a função u(x,y) que torna a expressão integral

estacionária sob a condição associada

em

onde c1 é um segmento de c,

será necessáriamente uma solução do problema de valores de contorno

em g,

sob as condições de contorno de dirichlet

e geral de cauchy

em c1

em c2, sendo

nx e ny os cosenos diretores da normal exterior relativamente ao contorno c, e sendo c2 o resto
do contorno, de tal forma que

claramente temos uma vantagem aqui: a condição do tipo cauchy não está presente na
formulação integral de modo explícito. apenas a condição de dirhclet precisa ser levada
em consideração, se formulamos o problema através de um princípio de extremo.
(h. r. schwarz, finite element methods, academic press)

(equação de laplace)

(equação de poisson)

(equação de helmholtz)

existem contudo, muitos problemas para os quais não é possível encontrar funcionais derivadas pelo cálculo das variações. nestes casos, uma técnica bem mais abrangente para se encontrar a integral procurada é o chamado método de galerkin, uma variante do método dos resíduos ponderados. o método de galerkin irá produzir matrizes globais formalmente idênticas às encontradas, por exemplo, pelo teorema anterior em problemas que admitem uma formulação variacional.