Curso Online de Matemática Financeira

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Introdução à Matemática Financeira
Antes de adentrar ao universo da Matemática Financeira propriamente dita, é importante definir conceitos como moeda e capital. Moeda é o meio que facilita a troca de bens e serviços, possuindo basicamente três funções: meio de troca, unidade de valor e acúmulo de riquezas. A moeda é essencial como um meio de troca, uma vez que tem mais vantagens que o modelo de escambo. Entretanto, embora seja importante, a moeda é insuficiente para algumas operações financeiras.
Entende-se por capital o dinheiro acumulado que está investido ou disponível para ser in- vestido. Existem outras possíveis denotações para capital, mas vislumbrá-lo como recurso disponí- vel para uma aplicação é a que mais se emprega nesta obra.

Valor do dinheiro no tempo
Gastar x investir
Indivíduos e empresas têm de saber como lidar com o seu dinheiro; ele pode ser gasto ime- diatamente ou economizado. É claro que é possível fazer as duas coisas, isto é, gastar parte do dinheiro e economizar outra parte. Decidir por economizar é o mesmo que adiar o consumo para realizar um investimento.
Aquele que possui o dinheiro decide entre consumo e investimento no intuito de maximizar a sua utilidade (nível de satisfação). Assim, quando se decide pelo investimento, espera-se uma remuneração que pague pelo adiamento do consumo e, também, pela incerteza do próprio investi- mento. O resultado de um investimento é quase sempre incerto; desse modo, para que uma pessoa (ou empresa) decida por investir, a modalidade escolhida deverá proporcionar uma remuneração atrativa, para compensar incertezas sobre o valor a receber no futuro. Caso isso não ocorra, dificil- mente haverá interesse em poupar.
Remuneração pelo investimento
A remuneração pelo investimento é chamada de juro. Trata-se de uma quantidade depen- dente do tempo que o consumo está sendo adiado. Juro é a remuneração pelo consumo adiado, ou, em outras palavras, a remuneração sobre o capital investido.
Para ilustrar essa questão, pode-se pensar no seguinte exemplo: Carlos emprestou R$ 100.000,00 a José e o valor deverá ser devolvido em um ano. Quanto José deverá pagar a Carlos após um ano? Com certeza esse valor deve ser corrigido pela inflação, então, se a inflação for de 5% ao ano, o valor devolvido após esse período deve ser de R$ 105.000,00.
Pode-se ainda levantar outra dúvida: José deve pagar apenas o valor emprestado corrigido pela inflação? De acordo com o que já foi dito anteriormente, Carlos esperaria ser remunerado por adiar o consumo, isto é, receber a correção relativa à inflação acrescida de uma parcela chamada de

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juro real. Dessa forma, Carlos espera receber mais do que R$ 105.000,00. Supondo que a inflação nesse período acrescida dos juros reais que o governo esteja pagando a quem lhe empresta dinheiro seja de 15%, Carlos espera receber R$ 115.000,00.
Existe mais uma questão: será que José vai realmente pagar o empréstimo? Mesmo que Carlos o conheça e saiba da sua boa índole, existe a possibilidade de ele perder o emprego, por exemplo. Assim, resta uma última pergunta: como se deve tratar a incerteza com relação ao recebimento da quantia emprestada? Com certeza Carlos terá de cobrar mais ainda de José, pois os R$ 115.000,00 não serão suficientes para cobrir aquilo que Carlos espera ganhar. O governo, nesse nosso exemplo, está pagando 15% de juros nominais (juros reais mais a inflação). No entanto, sabe-se que caso o governo não tenha dinheiro, ele pode emitir moeda para a dívida; José, obviamente, não pode fazer isso. Portanto, Carlos deverá cobrar de José, mais do que receberia fazendo um investimento em um título do governo.
O juro cobrado em um empréstimo deve cobrir:
a inflação esperada;
o juro real;
o risco.
Com esse exemplo, é possível perceber que existem três motivos para que o valor do dinhei- ro varie com o tempo. Com base nessa discussão, é possível perceber que receber R$ 100,00 hoje, vale mais do que receber R$ 100,00 daqui a um ano. Primeiramente, isso ocorre devido à inflação. O segundo motivo que faz com que o dinheiro valha mais hoje do que no futuro é a possibilidade de investi-lo e receber maior valor futuramente (juro real). O terceiro motivo está relacionado à incer- teza (risco); não há certeza em receber o dinheiro no futuro (risco de crédito). Além disso, em mui- tos investimentos não é possível saber o valor exato que será recebido no futuro (risco de mercado).
É importante notar que, como o dinheiro perde seu valor ao longo do tempo, os juros são a forma de garantir que o valor financeiro disponível hoje seja equivalente ao que se terá no futuro. Em economia é comum considerar o custo de oportunidade, que é o custo de desistir de um ga- nho certo hoje para trocá-lo por um ganho futuro. O custo de oportunidade é exatamente a mesma coisa que o valor do dinheiro.
1.1.3 Juro prefixado e pós-fixado
É interessante notar que não se sabe qual será a inflação no futuro. Assim, deve-se cobrar pela inflação esperada. A inflação esperada é aquela que que ocorre daqui para frente até uma data futura. Entretanto, pode-se considerar o juro como pós-fixado. Considerando o exemplo anterior, Carlos poderia emprestar a José a uma taxa pós-fixada e dizer a ele que emprestaria a uma taxa de 10% com acréscimo da inflação que ocorrer no período. Como a inflação não é conhecida de an- temão, José não saberia ao certo quanto pagaria, assim como Carlos também não saberia o quanto poderia receber. Todavia, Carlos saberia que, se a inflação ao longo do próximo ano fosse de 20% ao ano, ele não perderia dinheiro.

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Terminologias
Imagine que você faz um investimento de R$ 100,00. Você aplica essa quantia e no futuro (após um ano) resgatará um outro valor, por exemplo, R$ 120,00. É necessário usar uma termino- logia única, que não traga dúvidas no momento de identificar e resolver os problemas.
Os livros de Matemática Financeira não contam com uma terminologia uniforme. Assim, esta obra vai se concentrar apenas em algumas, para que não haja confusão.
Valor presente, valor futuro e juro
O valor investido costuma ser chamado de valor presente, principal ou capital. Já o valor resgatado pode ser chamado de valor futuro, montante, valor de resgate ou saldo futuro. Apesar de cada obra utilizar um desses diferentes termos, vale ressaltar que as calculadoras financeiras, assim como o Microsoft Excel, utilizam os termos valor presente (para fazer referência ao valor inicial de uma aplicação ou dívida) e valor futuro (para o valor final da aplicação ou dívida).
O valor presente nada mais é do que o valor do capital investido. O valor futuro é o capital resgatado ao final do período de investimento. Portanto, o valor presente da sua aplicação é de R$ 100,00, enquanto que o valor futuro é de R$ 120,00.
Assim como é preciso dar nomes para os valores iniciais e finais da aplicação, é utilizado um nome para a diferença entre o valor final e o valor inicial da aplicação. Conforme visto, a remu- neração sobre o capital investido é chamada de juro, portanto, o incremento sofrido pelo capital investido recebe o mesmo nome.
Dessa forma, o juro nada mais é do que o valor futuro menos o valor presente, ou seja:
Juro = Valor Futuro Valor Presente
Retomando o início desta seção, quando você investiu R$ 100,00 e resgatou R$ 120,00, pode-se afirmar agora que o juro (remuneração pelo capital investido) foi de R$ 20,00.
Em outras palavras, o juro representa o aumento do capital investido. Veja o exemplo a seguir:

Manoel aplicou R$ 100,00 na caderneta de poupança. Depois de um ano sem mais nenhuma movimentação, ele tinha R$ 110,00. Quanto ele ob- teve de juro?

Juro = Valor Futuro Valor Presente Juro = R$ 110,00 R$ 100,00
Juro = R$ 10,00
Observe que a equação acima pode ser reescrita como:
Valor Futuro = Valor Presente + Juro

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Silvana investiu R$ 100,00. Após dois anos o juro foi de R$ 25,00. Qual era o montante que Silvana possuía ao final desses dois anos?

Valor Futuro = Valor Presente + Juro Valor Futuro = R$ 100,00 + R$ 25,00 Valor Futuro = R$ 125,00.
Para simplificar ainda mais as notações, serão utilizadas, de agora em diante, letras para re- presentar o valor presente, o valor futuro e o juro. Isso será feito da seguinte maneira:
Valor Presente (P);
Valor Futuro (F);
Juro (J).
Reescrevendo as equações acima tem-se:
J = F P F = P + J
1.2.2 Taxa de juros
A taxa de juros (i) é a razão, isto é, a divisão entre o juro e o capital investido (valor presente):
Taxa de Juros = Juro / Valor Presente
Também pode-se escrever essa equação da seguinte forma:
i = J / P
A taxa de juros é uma quantidade adimensional, mas comumente é medida em termos de percentagem ao período.
Considerando novamente que foram aplicados R$ 100,00 e resgatados R$ 120,00 após um ano, a taxa de juros (i) foi de:
i = R$ 20,00 / R$ 100,00 = 0,20 = 20% ao ano.
É importante que a taxa de juros seja medida por unidade de tempo. No caso apresenta- do a taxa foi de 20% ao ano. Será que em seis meses essa aplicação teria rendido a mesma taxa? Certamente não. Espera-se que na metade do tempo, a taxa de juros seja aproximadamente a metade dela. Assim, o juro (J) pago após um período de tempo é dado por:
J = P . i
Ou seja, o juro (J) cobrado após um período de tempo é o produto do valor presente (P) pela taxa de juros (i).
Sabe-se que o valor futuro pode ser calculado com base no valor presente e do juro (F = P + J). Também é sabido que o juro pode ser calculado com base na taxa de juros e no valor presente (J = P . i). Assim, pode-se calcular o valor futuro em termos do valor presente e da taxa de juros:

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F = P + J
F = P + P . i F = P . (1 + i)
Sendo que na última passagem da equação, simplesmente coloca-se o valor presente (P) em evidência. É importante notar que a taxa de juros é geralmente escrita em porcentagem. Entretanto, sempre fica claro no contexto o que está sendo utilizado. Pode-se escrever uma taxa de juros como i = 15% ao ano ou i = 0,15 ao ano, já que ambos representam exatamente a mesma coisa.

Sebastião aplicou R$ 100,00 em um fundo que rendeu 12% em um ano. Qual o juro e o montante após um ano?

O juro é:
J = P . i
J = R$ 100,00 . 12%
J = R$ 100,00 . 12 / 100 J = R$ 12,00
Já o montante pode ser escrito da seguinte maneira:
F = R$ 100, 00 . (1 + 12%)
F = R$ 100,00 . (1 + 0,12)
F = R$ 100,00 . 1,12 F = R$ 112,00
Portanto, o juro é de R$ 12,00.
Isso poderia ser escrito simplesmente:
F = P + J
F = R$ 100,00 + R$ 12,00 F = R$ 112,00
Nota-se que o montante é de R$ 112,00.

1.3 Diagramas de fluxo de caixa
As operações financeiras nada mais são do que compromissos que duas partes assumem entre si. Uma das partes (que pode ser uma pessoa, empresa, instituição financeira ou o próprio governo) é um tomador de recursos, enquanto a outra parte é um financiador. O financiador tem recursos financeiros e deseja aplicá-los para que o seu capital renda juros.

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R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00
Um diagrama de fluxo de caixa é um fluxo de pagamentos e recebimentos em diferentes instantes de tempo, é gerado por um investimento, um empréstimo ou algum outro tipo de negó- cio. Geralmente, assume-se que os fluxos positivos (setas orientadas para cima) representam uma entrada de recursos, enquanto que os negativos (setas orientadas para baixo) representam saída de recursos.
1.3.1 Ponto de vista do tomador de recursos
As operações financeiras fazem com que exista um fluxo de caixa envolvendo os dois agentes acima citados. O tomador vislumbra primeiramente uma entrada de caixa, que é o capital que ele re- cebe emprestado. Depois de algum tempo, o tomador tem uma (ou mais) saída de caixa, que corres- ponde ao pagamento do empréstimo, a qual pode ser feita por meio de uma única ou várias parcelas.
Os diagramas a seguir representam fluxos de caixa do ponto de vista do tomador de recur- sos. No primeiro diagrama foram tomados R$ 100,00 emprestados no período zero e o pagamento foi realizado em seis parcelas de R$ 20,00. Já no segundo diagrama, também houve empréstimo de R$ 100,00 no período zero, entretanto, o pagamento ocorreu em uma única parcela após seis períodos de tempo (possivelmente seis meses). O valor do pagamento foi de R$ 130,00.
Figura 1 Fluxo de caixa de empréstimos

R$ 100,00
R$ 100,00
R$ 130,00
1
2
3
4
5
6
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.3.2 Ponto de vista do aplicador de recursos
Do ponto de vista do aplicador ocorre exatamente o oposto, ou seja, acontece uma saída de caixa, pois o dinheiro foi aplicado (emprestado). Depois de algum tempo, o aplicador recebe o dinheiro de volta, o que ocasiona uma entrada de caixa.
Os diagramas a seguir representam fluxos de caixa do ponto de vista do aplicador. No pri- meiro, nota-se que R$ 100,00 foram aplicados no instante zero e o retorno da aplicação ocorrerá em seis parcelas de R$ 20,00. Já no segundo diagrama, também foram aplicados R$ 100,00 no período zero, entretanto, o retorno ocorreu em uma única parcela após seis períodos de tempo (possivelmente seis meses). O valor recebido ao final da aplicação foi de R$ 130,00.

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Figura 2 Fluxo de caixa de aplicações
R$ 100,00
R$ 100,00
R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00

1 2 3 4 5 6
R$ 130,00
1
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3
4
5
6
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.3.3 Outros diagramas de fluxo de caixa
Conforme visto, nos diagramas de fluxo de caixa as setas para baixo significam saída de capital, enquanto as setas para cima denotam entrada de capital.
Além disso, vale ressaltar que os fluxos de caixa podem ocorrer de outras maneiras. As mais comuns foram citadas acima, ou seja, por meio de um fluxo positivo seguido de outros negativos. A outra possibilidade é um fluxo negativo seguido de outros positivos. Contudo, pode haver outras alternativas, como:
Figura 3 Fluxos de caixa diversos

R$ 100,00
R$ 50,00
6
1 2 3 4 5

R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00
R$ 200,00
R$ 60,00 R$ 60,00
R$ 60,00 R$ 60,00 R$ 60,00 R$ 60,00
1
2
3
4
5
6
Fonte: Elaborada pelo autor.
Juros simples
Já foram vistas, anteriormente, aplicações em que o período é igual a um. Nesses casos, o cál- culo do juro é sempre o mesmo, independemente de se trabalhar com juros simples ou juros com- postos. Esta seção será iniciada com o estudo do caso em que o período da aplicação é um inteiro maior que um. Depois, o caso em que o período da aplicação é fracionário também será estudado.
Período da aplicação é um inteiro maior que um
Quando um capital é investido por n períodos, a cada período recebe-se um juro. Do se- guinte modo:

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período 1 : J1 = P . i período 2 : J2 = P . i

período n : Jn = P . i
Em que Jn é o juro no período n.
Desse modo, os juros totais acumulados após n períodos é igual a:
J = J1 + J2 + . . . + Jn J = P . i . n
Assim, o valor futuro será dado por:
F = P + J
F = P + P . i . n F = P . (1 + i . n)
1.4.1.1 Encontrando o valor futuro

Camila aplica R$ 100,00 em um fundo de investimento que rende 1% ao mês a juros simples. Quanto Camila terá após seis meses?

Para responder a questão, é preciso montar o fluxo de caixa. Como Camila está aplicando, ela primeiramente terá que desembolsar os R$ 100,00, assim, esse fluxo de caixa será negativo e sua seta no diagrama ficará para baixo.
Após seis meses, Camila terá o dinheiro disponível para utilização; desse modo, assume-se que nessa data Camila receberá o dinheiro. Logo, o fluxo de caixa será positivo e a seta no diagrama ficará para cima.
F = P . (1+ i . n)
R$ 100,00
As contas ficam como mostrado a seguir: F = P . (1 + i . n)
F = R$ 100,00 . (1 + 0,01 . 6)
F = R$ 100,00 . (1,06) F = R$ 106,00
1
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4
5
6

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1.4.1.2 Encontrando o valor presente
A equação dos juros simples será bastante utilizada, no entanto pode-se fazer uma pequena modificação e utilizá-la para encontrar o valor presente de um investimento, quando se sabe apenas o valor futuro, a taxa de juros e o número de períodos em que o capital será aplicado. Dessa maneira, tem-se:
P F
(1 i . n)

Sidney tomou emprestado de seu amigo um certo valor a uma taxa de juros de 3% ao mês. Sabendo que depois de três meses ele teve de pagar R$ 130,80, qual foi o valor que Sidney tomou emprestado de seu amigo?
1
2
3

P
F
(1 i . n)

n
P
P
n

R$ 130,80
P = F / (1 + i . n)
P = R$ 130,80 / (1 + 0,03 . 3)
P = R$ 130,80 / 1,09 P = R$ 120,00
1.4.1.3 Encontrando a taxa
Ao utilizar a equação dos juros simples, é possível calcular a taxa de juros quando se conhece o valor presente, o valor futuro e o período. Isolando a taxa:
F 1
i ou 1
F 1
Adalberto tomou empréstimo de R$ 200,00 do banco. Depois de um ano ele teve de pagar R$ 250,00. Assumindo que o banco tenha utilizado juros simples, calcule a taxa de juros ao mês.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R$ 200,00

i
P
P
i

R$ 250,00

i = (F / P 1) / n
i = (R$ 250,00 / R$ 200,00 1) / 12
i = (1,25 1) / 12
i = 0,02083 = 2,083% ao mês
1.4.1.4 Encontrando o período
A fórmula dos juros simples pode ser utilizada para encontrar o período. Assim, por meio do valor presente, o valor futuro e a taxa de um empréstimo, é possível descobrir quando o emprés- timo deve ser pago. A equação usada é:
F 1
n ou 1
F 1
Juliana emprestou R$ 150,00 a uma amiga a uma taxa de juros simples de 1% ao mês. Ela disse que a amiga deve pagar R$ 180,00. Qual é o período do empréstimo?
R$ 180,00
R$ 150,00

n = (F/P 1)/i
n = (R$ 180,00/R$ 150,00 1)/0,01
n = 20 meses
1.4.1.5 Período de aplicação é uma fração do período da taxa
Quando o período (n) da aplicação é menor que um, realizam-se os cálculos do mesmo modo. Ou seja, as fórmulas utilizadas serão as mesmas.